Propositiones ad acuendos juvenes, ou « problèmes pour aiguiser l’esprit des jeunes » est un recueil du IXème siècle contenant 53 énigmes mathématiques et logiques.

Les solutions aux énigmes 3.

Alcuin et ses disciples

Pour les nuls en maths.

Proposition 21

Il est une bergerie dont la longueur est de 200 pieds et la largeur de 100 pieds. Je veux y loger des moutons de façon que chaque mouton occupe un espace de 5 pieds de long et de 4 pieds de large.

Dis-moi, je te le demande, toi qui est fort, combien il est possible de loger de moutons.

200 / 5 = 40. On peut loger 40 moutons dans la longueur.

100 / 4 = 25. On peut loger 25 moutons dans la largeur.

40*25 = 1000

On peut donc loger 1000 moutons dans l’ensemble de la bergerie.

Plus difficile.

Proposition 34 :

Un chef de famille a 100 domestiques. Il demande de partager 100 boisseaux de blé de façon que chaque homme reçoive 3 boisseaux, chaque femme 2 et chaque enfant un demi.

Dis-moi, qui en est capable, combien il y a d'hommes, de femmes et d’enfants.

Problème proche de la Proposition 47 mais il y a plusieurs solutions.

H est le nombre d’hommes, F le nombre de femmes et E le nombre d’enfants. D’autre part, comme les ecclésiastiques, on suppose que les domestiques ne peuvent pas être coupés en rondelles donc H, F et E sont des nombres entiers :

100 personnes donc : H+F+E=100 donc E=100-H-F

100 boisseaux donc : 3H + 2*F + 0,5*E = 100. En remplaçant E puis en multipliant par 2 on obtient :

5*H + 3*F = 100 donc F = (100 - 5*H) / 3 = 33 - (5H-1)/3 avec H et F entiers.

Il faut donc chercher des multiples de 3 pour F en faisant varier H.

On trouve donc :

H=2 F=30 E=68       H=5 F=25 E=70         H=8 F=20 E=72     H=11 F=15 E=74     H=14 F=10 E=76       H=17 F=5 E=78      H=20 F=0 E=80

(pour les fans de modulo: H = 2 + 3K)

Un peu de réflexion. 

Proposition 55:

Si vous avez bien suivi les précédents chapitres, Alcuin n’a rédigé que 53 propositions. Mais il y en peu qui rentrent dans cette catégorie. Alors, j’en ai ajouté.

Pour l’école palatine, Alcuin doit acheter un parchemin. Il va voir son fournisseur et lui en achète un (le prix est un nombre entier). Le lendemain, il retourne en acheter un autre mais le prix a augmenté d’un denier. Le manège se poursuit pendant plusieurs jours. Le prix augmente chaque jour d’un denier. Au bout d’un certain nombre de jours, Alcuin a dépensé 1000 deniers.

Quel est le prix du parchemin et combien de jours ont duré les achats ?

Il y a plusieurs solutions. Comme l’auteur de ces lignes est sympa, il en donne une :

Alcuin a acheté un parchemin 1000 deniers pendant un jour.

Et les autres ?

#histoiredefrance #moyenage #enigme #Charlemagne

Parchemin

Je présente une solution à ma sauce qui fera peut-être hurler les profs de maths. Je me lance quand même.

Soit P le nombre de jours d’achat.

Si le nombre de jour P est impair et si N est le prix du jour du milieu, l’argent dépensée sera :

… (N-2) + (N-1) + N + (N+1) + (N+2) +…

On constate que la somme de deux termes de part et d’autre du jour du milieu est : N + N, soit 2*N en deux jours, donc N par jour.

Donc en P jours, Alcuin dépensera : N*P = 1000 = 2*2*2*5*5*5  avec P impair. On trouve ainsi les solutions N qui représente le prix du jour du milieu :

P=1 et N=1000 (1000 deniers pendant 1 jour)

P=5 et N=200 (durée 5 jours, donc 198 deniers le premier jour)

P=25 et N=40 (durée 25 jours, donc 28 deniers le premier jour)

P=125 donne un prix négatif le premier jour d'achat.

Si P est pair, on tient le même raisonnement mais il reste un terme qui n’a pas de vis-à-vis :

… (N-2) + (N-1) + N + (N+1) + (N+2) +…..+ (N+P/2)

Donc en P-1 jours, Alcuin dépensera : N*(P-1) (cf. ci-dessus, P-1 étant impair)

Et le dernier jour : N+P/2

Donc au total Alcuin dépensera: N*(P-1)+N+P/2 = NP+P/2 = 1000

soit N = 1000/P -1/2 = 8*125/P – 1/2

N étant un nombre entier, il faut  donc que P soit un multiple de 16.

La seule solution est :

P=16 et N= 62 (durée 16 jours, donc 55 deniers le premier jour)

P=80 donne un prix négatif le premier jour d'achat.

NB : la prochaine fois, j’essaierai de trouver un problème avec une solution un peu moins longue à rédiger.